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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 (1;=>/3y  
LR}=3qvEKy  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. d7 .^Uo  
Jk9U^}  
　　1、三角函数本质： xhyW_9d%m  
Hqb}4) (  
　　三角函数的本质来源于定义 ey<CS5gZQ  
+lr9'5B.n  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 H!Z}G:zL  
J.p5] h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \_lSqiW  
7{i;]'=]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： B.mkrp{o  
zL$tDdo'  
　　推导： C^%sY'!x  
5 7~yp/nL  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 bso~T9 z^  
DPQzUdA  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) C'n0u^L?a_  
}0UzOfR2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) (N}KNEh#  
`;{  A|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 B( v62J  
Xs<bT~;9n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ~7GSR@fpKq  
a:-TF C  
　　[1] (rq'A  
Ctg jwT  
　　两角和公式 vD8[yU]  
hIu6?PKq  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB LU`:Iq%C  
<d/y7[5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ^5aaD  
"]@BtA(XU  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB  +8EA\;  
CuG.3tP#Q{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Z/a0`i|7  
8bQ)x  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &['CpyL4  
Oi:90# f  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]FW?W^rD  
8&6t 3p  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  H[Yb@5!8  
}N4NYh[p  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _"XH f(=  
~VM/-HG$  
倍角公式 MXl-^&r  
/sVpf.  
　　Sin2A=2SinA•CosA $RA (:e  
YJD;g(J=  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 YT)xwVpG  
 D16oSN  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） k<Q6u19l  
p{HFZn: Q  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） R1ItWFk  
27o]?<3db  
三倍角公式 =nx=0CQ  
GpaG(,QV  
　　 lz|C"s-G  
/Hgj JP9  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) &w7,ERS  
=`cEP<m^j  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) F%*3+nek  
9f5Sn  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O{U,a3%  
zQq8R66*=&  
三倍角公式推导 R*NX=).l'B  
|`1E$~Va  
　　sin3a Lz{'uBA>!  
V7`/PZ{  
　　=sin(2a+a) ) BgaXPY  
AuR(-Bb#,  
　　=sin2acosa+cos2asina qXuE?`<p  
6>T}gpyIh  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina sSIda$  
HXAG<4MQee  
　　=3sina-4sin³a -G7@=%w  
4*^qn  
　　cos3a !0n%Oz  
 } Mt gV  
　　=cos(2a+a) S3/#:  
a3LGF9'P  
　　=cos2acosa-sin2asina UL`-+lQS  
DD92qFasA  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ErpF|  
pbVx<.^  
　　=4cos³a-3cosa 2enhCisM  
+B4vU5P  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?,-X~O%@  
PM>#X W  
　　=4sina(3/4-sin²a) "V5b$n~ I  
D.pY F5F  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 3poUf@{  
c>4"Mge+j8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) n"i4nP%fg  
.;x7g}TD  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) wEWP ^  
G<WMj6YX^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !?< 3S  
hA ;r<m  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ZJ.Nio  
fLkjnos  
　　cos3a=4cos³a-3cosa uEPlwk  
CC_p rJ!g  
　　=4cosa(cos²a-3/4) / !`pH  
17>QR.c  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 1~aWn  
4#`FL#f  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @RjWpu~r,Y  
6HF`6c(  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 8&YP[[|  
#>[]DO  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} :k H Y~x  
ma5XYy-<*F  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ` P^AwX  
WJ_ d  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ktG1D)3<  
_m ,r2LjG  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] UY~ QB>[=  
+E6S?!D  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) zmY  J1  
tZ$[>U~  
　　上述两式相比可得 hXta2bA  
A,pQ[!}b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) h6S%c9?O  
v,1Q[}k?  
半角公式 mv\i|b+  
 ' )|~Y  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); &vVU,y&yX)  
um)J{%U  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6;kC-L%SL  
 ]`Yz  
和差化积 KeL8z.J  
-, '<Mj\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Mu&qqE >p  
-9+hBJ'I.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !6U  U(  
 4F<J_4K  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] . [=D,qN  
brzP_>|  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :xGB?WE  
/\ WV6n2}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) h=zl/fv_Ju  
W~l^NN]^9v  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DjZa,ll  
GNk~|>1.#Y  
积化和差 Z22]+Q  
ici,j|DvP  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +>=dxw*M  
m:T6&EdFr  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] wKrd~3'Z Q  
n'C,jc}N  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ,JWJ vlc  
EG4JJVo  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] wPGZpeX  
c"rL"t`w  
诱导公式 1vX4G`}  
o?O_mJKi#  
　　sin(-α) = -sinα ))$9tt  
?MY:w&^  
　　cos(-α) = cosα +a %5+ s3  
qR8g }yd  
　　sin(π/2-α) = cosα kyOt; x  
L^It1C:W  
　　cos(π/2-α) = sinα h j 60  
E*g[/ Q  
　　sin(π/2+α) = cosα R9l!o 5  
)GxG6Qn'  
　　cos(π/2+α) = -sinα oZ(Zk3yZ  
iD^W/R;6  
　　sin(π-α) = sinα <(<&S enu5  
2e0c#q,  
　　cos(π-α) = -cosα M}9kQs&W  
x-3E%)jzl0  
　　sin(π+α) = -sinα '%"bIb  
`MVUsNH  
　　cos(π+α) = -cosα ^^do#8%K  
1~l$y>aw  
　　tanA= sinA/cosA 2b;vnl0.  
B!_nyi`B  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα bLK#ngIK]  
Q \;  
　　tan（π/2－α）＝cotα v_I'!78  
lBB B|d  
　　tan（π－α）＝－tanα  vauI|R  
9?|eO${_  
　　tan（π＋α）＝tanα K~L2EZ,kn  
Y9ufKw  
万能公式 wnHQTVdC  
9wL_tyDV  
　　 :P<~K NwTE  
`0NIofl#:  
其它公式 L$)_uAY  
eLGy0/9:  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 {4ZJK EK  
rLnIas`  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^Up7S_  
46/t$  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 8/Vs-]c  
Hv?;ZO 7  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 N Ot3"Su  
<MwJA Pa;  
　　对于任意非直角三角形,总有 @A'{W{7  
1Jr`0!V76  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QxD8y,&8  
&+/;LFt@  
　　证: Y Er8  
O t,j9Y &  
　　A+B=π-C F YFuZ>6m  
na:cT_W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }RMSf  
NLwa+I%sn  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) G\ex^fT  
`,d6x01>  
　　整理可得 s~5M1I6,j  
E`g@bs  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Gjm+xPBK  
|J !  
　　得证 B phQ+l  
Yt>uVre/O  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 BE~iHi X  
lkla,<>b4v  
其他非重点三角函数 MJ@]pd?  
Z$Lf /  
　　csc(a) = 1/sin(a) sew$dJic  
wki:nbTsA  
　　sec(a) = 1/cos(a) h>q,;DYNt  
,"$+$U>\aR  
　　 E?n SO:  
h*6 h|n  
双曲函数 jZ*2>x;  
Kr.+w/MtWY  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 frpL >>  
dp/5Y  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 -FbsW7  
&"Ds k!F"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2TZ-*YU'P  
)8FQdo  
　　公式一： N; 8kgf 7  
ov b }Vg  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 51)pSQ*`B  
%L#'SeR*M  
　　sin（2kπ＋α）= sinα H.FV1s \Q|  
{P@ROSy`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ExcH lKtB  
f120MSf?  
　　tan（kπ＋α）= tanα S0mr'[  
z6/#!kv  
　　cot（kπ＋α）= cotα }/Uhh8bI_  
,C;Q+`  
　　公式二： h|hw }R"  
;Nqi,D>-?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5SQ{*n  
v"'h'";|  
　　sin（π＋α）= -sinα w~yfc?c}&  
t823IzySn  
　　cos（π＋α）= -cosα :SFgzNG  
{wTz5w]|  
　　tan（π＋α）= tanα Cz,b=r  
YYW  he5e  
　　cot（π＋α）= cotα Phb1y;p  
`#1WLS,  
　　公式三： g0W]?7gN  
QuCB5l  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： IC~O~|h  
>0>vW(yam=  
　　sin（-α）= -sinα f@uV}*>  
mw%o}( -  
　　cos（-α）= cosα }Ij'C S\  
pH"t%B6*[  
　　tan（-α）= -tanα UK4=>j4->  
.e%<T{@  
　　cot（-α）= -cotα q r&lE~jG#  
}+89L bQ  
　　公式四： q#Z )vaM  
3)TEKD {  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： /<!r5Bt  
^\9U,sR6q  
　　sin（π-α）= sinα [P4b#T BW  
"4B{KK.  
　　cos（π-α）= -cosα ,|`$U JW  
*<Mt2gm  
　　tan（π-α）= -tanα aBo<Ha^  
K] e ]  
　　cot（π-α）= -cotα hO<"91  
]dzf;`RW  
　　公式五： Ts6<^ Hf`  
KGS'B=g7p  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： :SIfo}v  
["H SW\  
　　sin（2π-α）= -sinα  2FLRsr  
1&+MHZ8  
　　cos（2π-α）= cosα M"zX=eO"  
KvB;:YY|-  
　　tan（2π-α）= -tanα `SUB/zn  
`vC1_  
　　cot（2π-α）= -cotα 6{wmW:Ky!  
c8"sg W`j  
　　公式六： .{^]Y p  
9HQ"5%  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2|:tb5\E>  
{ddw-p/  
　　sin（π/2+α）= cosα fFUre  
eFF#P@F[/  
　　cos（π/2+α）= -sinα Wdzi/2 n  
.gW<L:l%{  
　　tan（π/2+α）= -cotα 458fHF6a  
bx =1M6H;  
　　cot（π/2+α）= -tanα Pu%"4-qjCW  
ux|((n9  
　　sin（π/2-α）= cosα ~U8C]%9%  
aNM)C>qn  
　　cos（π/2-α）= sinα Yvmr  
c/s;VF   
　　tan（π/2-α）= cotα MX5KV?E  
%9;kK;  
　　cot（π/2-α）= tanα !J"v^D3F  
-M_O>HVM  
　　sin（3π/2+α）= -cosα , wn]a  
heef?qN*s  
　　cos（3π/2+α）= sinα $Sm5>0hr  
O fya]m  
　　tan（3π/2+α）= -cotα OBZEzH6  
[Gh0ib|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 8m"10q![  
US8@B  
　　sin（3π/2-α）= -cosα C ^[]Zt"'  
cE;"jP]@hn  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Wb=\,wPn  
adi#dS  
　　tan（3π/2-α）= cotα &%N8"sY#B  
Ot?a)f  
　　cot（3π/2-α）= tanα hNxXAU]H  
R#W(=<-{=  
　　(以上k∈Z) ]!-hO  
]eJR|M!8  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 {Xo(Hg7,  
{d,i':rIO9  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = vexhzv  
+>;'dQbjPz  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 'lQU m3@  
|% BN|#K\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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