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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 /!oDl+  
X37-Pa<  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. l&nrAmn)  
4nR'D\o  
　　1、三角函数本质： ^//.W$agZ  
7WDchN<YNf  
　　三角函数的本质来源于定义 y R4Zj  
F1zHWA  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0Xtj;Tn  
{tVRn."~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 r7-L~VCL_  
2Ib"YQS}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： /= /d a%  
oO%K5 F$%  
　　推导： +w]E6} ]  
q`d#^Z9_'5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9q0UwsAJ  
ea30l_)6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (!7B".= 23  
mJDCG 6  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) iub+Uyb2  
GI.0#[j:  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 mP)bh "6  
.paztE8  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） A :`&q'b  
V2_+E}Y(  
　　[1] X|A@RzDAWY  
.D ;%>ON  
　　两角和公式 xnA0.6"%P  
_xLO{U  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB . z ?x3->  
h fz6,zd  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  z2{$KC{RV  
h9wHQ-%  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB PkUAWDBH  
>`x [}BW&  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB :aZevD<a  
BbcHihs  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [U'X.1nF9  
}o{;L /  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) W~R5]8/8  
6FvV\>pQx  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  J E$\9q  
1 mM9VCZm9  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) O+ ]b!<  
0|Pd2;+x  
倍角公式 7\#8GV%F  
>Yg"T+  
　　Sin2A=2SinA•CosA tL<=.w46S:  
] gao: )\  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 avsEMmlFa  
<[-e*  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +SCkl]  
v6xi8]Yub  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ]Nv${5qy  
00&DU 0:  
三倍角公式 N$f GRg3  
zi+"B1M  
　　 8xqLpm8s  
xH5#X 1_*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) EFJyz:  
$#Nfx>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) :jL'wu,  
)Yx"< ,p  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 3@|Orar  
q3NK)W<-[w  
三倍角公式推导 x3Yd.r":  
?a2%RK  
　　sin3a j/gN!  
++ ,h  
　　=sin(2a+a) &#W'Ye  
r(~:$"Jd  
　　=sin2acosa+cos2asina /JfNJF3  
B7!51Hw#S  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina >z,)gi  
=Yhx0014  
　　=3sina-4sin³a evR[k%#6  
)v<& ./.  
　　cos3a "dOiq2pP  
H[t|?VG|V  
　　=cos(2a+a) Kf H@EHo  
0dXTHz*  
　　=cos2acosa-sin2asina oJw`v3V;  
OaW1Nnu g  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa [<@+$8{o  
uQA8?2+P  
　　=4cos³a-3cosa ?s?=UY;  
7{><?n  
　　sin3a=3sina-4sin³a y-uG/yoY  
w#=>474_xc  
　　=4sina(3/4-sin²a) @q)HA {  
,FM)$1  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Rp;\i;  
>u .y'%FX  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `ipYpY9AM  
bd UW"  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) S*C<-ce  
 ~`[]L  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ISju\X+;  
t~\HY1  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [T{8a.%:r  
8]0"k2  
　　cos3a=4cos³a-3cosa b'!X8tyuU*  
MDD[om  
　　=4cosa(cos²a-3/4) <bv2+j1O  
j?8&$<\b&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] V&Hv_zS  
@^^7T'  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) YnI6R&7  
K/PzxT  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) NUBzpT  
BrISw!ow  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *?91F |Lf  
W0,S!A  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) B0L;J|F  
SNBf5 vW  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  $S3PxIe  
 {JVv(_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =^ %g{>_  
f?:Bu\B&\k  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Yl*=qwn  
`*p;MowJJ  
　　上述两式相比可得 d`oxE"z  
a89)lCc  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 9BKMP$S_  
(ay61?Do]  
半角公式 0]10VSu.K  
H, &=cvv  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 'ShT3i;$a  
#_4e<<Hpr  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. N^+"G4cLF  
RA8]l#B  
和差化积 n(+VGd,  
8}AGzP  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] CV-7n tG1  
fr{7K=h  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FdVfol  
a~~mEuf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _v(]V1G  
1"eZ$%Ld  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M2@U~?TKE  
60 J [^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) oMd3[H  
lg3q;kGS9  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `~pB{a  
p *>x_M  
积化和差 ?Dh]2s  
q&aor"#  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] TWh*Bfbe  
K \zr"!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~|0,WSZ[n  
c5%Lw;Y  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #$g MhA;  
x  k2cwG  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] aQdrk2<P  
a9`Ix<xh[Z  
诱导公式 zq-&*Tf]  
[FNozmb Ql  
　　sin(-α) = -sinα i{O>PB;  
|-,f[[G  
　　cos(-α) = cosα DQ@T'RQ  
ird Dx Z  
　　sin(π/2-α) = cosα 3xz}<BH4  
K?D'2!]?  
　　cos(π/2-α) = sinα |rl]o]y'  
r!uK72)  
　　sin(π/2+α) = cosα EUbliH-  
+M[<2" M  
　　cos(π/2+α) = -sinα ._fnO~>$m  
mndg3J`7Ox  
　　sin(π-α) = sinα $vE]q5  
AH]w9N  
　　cos(π-α) = -cosα QfqWYWGqw  
AJ GxP>-l  
　　sin(π+α) = -sinα 1AU.Ms^[5  
?F5<> U  
　　cos(π+α) = -cosα QQVj-  
{3 |SE1PA  
　　tanA= sinA/cosA ;tPuQ '{=Z  
,&zmTih  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα R|J\sz`;  
5Iji E  
　　tan（π/2－α）＝cotα I ]PIlu=  
5[OvdD  
　　tan（π－α）＝－tanα h-'xl6  
uB' <}  
　　tan（π＋α）＝tanα I1,0QO7  
8?}Uh2qN  
万能公式 o lYG'  
A9D ^yh)  
　　 &gh I+  
UANKhU-L%  
其它公式 <l n^w-  
>r^XUY7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5;uBB"G7  
9kx(}!BoY9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 };!#q4ti0<  
"R2{$Z Z  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 I;})/vl  
2 aWe /.  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ZWKgZk7  
w/v7Al,ix  
　　对于任意非直角三角形,总有 Vv? P\4B  
7g*'+I  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 'O0dg5R1@  
(a=7jMo  
　　证:  ]Z~r(#  
- @El\sCB  
　　A+B=π-C p yl</  
9=xOAE;gk2  
　　tan(A+B)=tan(π-C) G//:G#c.w  
@?yd!D  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V T {YW\:  
yqC3EuAl  
　　整理可得 b DsICN>~  
_h:-TWi!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ryd9f ,]!  
8}|icW  
　　得证 c K[-x   
~W)Jva:q[  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $b`<aJw~  
pt<F!,f  
其他非重点三角函数 `*IqG68f|  
6\Q(je8  
　　csc(a) = 1/sin(a) i>.}!vG<  
QOYa -3#~:  
　　sec(a) = 1/cos(a) >.q#>H ~H  
3q3&v{]1ec  
　　 yAB f&  
)U\E !6D  
双曲函数 ( - 1r\G  
s o(TsYu  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 lH40~{(  
]*pp~ |AM  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "+yx%,;p  
{BAzjXQ9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) D 9ux=q  
b[(:w!$0)}  
　　公式一： {zX&,_4>  
G x%"  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： O\i,Ju  
&pL-l\Z~  
　　sin（2kπ＋α）= sinα aA:(SBF4M  
"1$:iV\hY  
　　cos（2kπ＋α）= cosα OB"j_+0Z ;  
K1J~$SJ  
　　tan（kπ＋α）= tanα *}"j6FY3:  
R-M$;7@B(  
　　cot（kπ＋α）= cotα Bw:('Q"  
 jd[sGj  
　　公式二： o1S%Yo  
:#fUAVsxBO  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： hN ZvG{ !  
!d@ jhg  
　　sin（π＋α）= -sinα }3;,cP  
^?^@:-Z/  
　　cos（π＋α）= -cosα \@5tO{YQ^  
3xw/\(_  
　　tan（π＋α）= tanα VuG3D4Q t  
PoLg5j'?  
　　cot（π＋α）= cotα Zi "+QF^f  
9XqkH~\G  
　　公式三： oiljwZ  
@l)Ek#5  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ) H}ZE  
`}3DlIK  
　　sin（-α）= -sinα #'#,n;F?Xh  
 H>,s9>  
　　cos（-α）= cosα {::C.n|  
/]z| O  
　　tan（-α）= -tanα  y)}j3  
X~K4eas+  
　　cot（-α）= -cotα *mUd2wd%  
Z@o GF7])  
　　公式四： sgHqH*  
x zN?{~  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： S3OfEYXXY  
LW~JhS  
　　sin（π-α）= sinα #~"ypuCsy  
\hY11 FF  
　　cos（π-α）= -cosα 3Gb1'N s3  
0 >wD`,&&  
　　tan（π-α）= -tanα 37qjc6uV  
e:se@Wh3  
　　cot（π-α）= -cotα %zV"C`C-QJ  
!}sr.  
　　公式五： `<dnQ(i  
(6m'xYf|  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： iM{6H+ 5  
"mEaxH  
　　sin（2π-α）= -sinα zIRx#f.=  
("qk*f  
　　cos（2π-α）= cosα `Cw455  
Rz5\?-J|KX  
　　tan（2π-α）= -tanα /].nY%D cA  
Y<(F+  
　　cot（2π-α）= -cotα rz@EmWot  
D Fz&  
　　公式六： -R>?Z  
$,*0Or$`P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ]$ReE  
s1Pa90.<qL  
　　sin（π/2+α）= cosα ^tr[J.3K  
v/>`v  
　　cos（π/2+α）= -sinα 6eQv[q\8  
!qGNzL2c  
　　tan（π/2+α）= -cotα NW,=D-f}  
YC 0>w  
　　cot（π/2+α）= -tanα !I%/ijK?E  
!S,Sf,k  
　　sin（π/2-α）= cosα OYDCv-lD  
OUHl_9h6  
　　cos（π/2-α）= sinα gbn1A=/g  
kQoFl**E/  
　　tan（π/2-α）= cotα vCJ/pE]  
HzAW@}hl  
　　cot（π/2-α）= tanα C\E"&?  
0s47v(o  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :eg~f  
DlA4& KgQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα  xjBqH&  
{q$oORN$  
　　tan（3π/2+α）= -cotα pEQ<nxf  
M{A"7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα rO^}+8MYMD  
`SvpC"`  
　　sin（3π/2-α）= -cosα )[mI|C  
l`*jSVe  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Le"K@WP;`d  
oL<D0m>s  
　　tan（3π/2-α）= cotα T} S| o-%  
$'YdN"1H$A  
　　cot（3π/2-α）= tanα |n>b/gnN'b  
w(cFQan  
　　(以上k∈Z) EuYGn(x  
u uSl)&  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 py*?ogwM<  
s fzb#'Nr  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6Z'S} f]  
~<S-r$  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KwZNM^X  
SL~1~D16  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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