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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 KRp5h +8#  
XjQ$ q  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _PP5`)2R  
P@k2HWi$(  
　　1、三角函数本质： s+7MbL8  
r!%!mJ  
　　三角函数的本质来源于定义 O&KJ -T  
yo9WLkaZK  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8?@\.<?$  
P;}j5G%?  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \/ t!|D  
" y+GJ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^kh `,7f  
q :q8u(  
　　推导： [.|Yah9  
4Hoo'm>  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,Zd'P-7b   
Tz"S#m.`5=  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  %@cW?8  
MnUTW  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) W4`>Zk  
.yw&Sgod  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (,[)vd~u&  
P(XMYx]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） g35fE#;Y  
JL0b4 k r  
　　[1] dY3Kv$*w  
b{D *.O  
　　两角和公式 y5XeO{Tr  
&rzwLg<81  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Yyf;Y5.1  
=Va/  .  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  K8=;Z=%rtN  
,@oC iG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 31`4U=J3  
.}M1foAJ  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB fx8<JOa  
eiH8p/1Ba  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1_OBzZ(.}  
A3GB$tP  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) OkCq! n  
Wd)qKQnV  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  vJ:$ 4q  
o0c87fzA;  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,p&OIo  
mR''(>E  
倍角公式 n)if.e5)  
I^^r'V@@  
　　Sin2A=2SinA•CosA ]P](6hH%  
R`nr_()T,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 E/=O$_(_  
~@P_W _  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Ms >Ub   
k(^D:dh  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 76PK=<pM^  
j^^(~`SE  
三倍角公式 u)(OL(|y2  
g-L4N,-,5  
　　 Y=LV}`q  
6P-6oSyR  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) u]`EwL~S[  
rLM)XP=@?  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) UosaYqK:K%  
CXb|?A6  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) n a> P&  
}ae`VP5  
三倍角公式推导 kt+-Yyy  
~qVqy9#  
　　sin3a e#I7MTl4  
E 0twN(  
　　=sin(2a+a) |5#B\k6T  
K%~\hAZ@y  
　　=sin2acosa+cos2asina Z^/'K]v0@  
C^, ` cRN  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina CYuLSq&  
p+CZZt  
　　=3sina-4sin³a sp"#0%  
e$vL,OB[7  
　　cos3a it"YY%]4  
`ITWIog:9  
　　=cos(2a+a) rP|B_h%u2  
1fV{av  
　　=cos2acosa-sin2asina yOW]q|Z{  
lt)Q`z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa /._vZ|K  
feN!/W,  
　　=4cos³a-3cosa +iw( |{  
<mGMP<Q{L  
　　sin3a=3sina-4sin³a \TUY~GTI  
'NAua|D  
　　=4sina(3/4-sin²a) x&%B^Q8  
)W/~]u?4@  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] \LNczk/:  
[Sk))P3)  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) b&b<aO97  
J{*+r'R]1  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) !_Fu#i?  
RQO@ Wc6  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] rYa)|^I  
\,Lu&Jf]9  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) {!_ U<XI  
0[[Kb/ g  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _dkwK&'  
F8?QK' ^C  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _TVTr*T  
wZb "~cF   
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] w]|P`$o  
 [Ob*?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) RF94_B  
u<XnSwi<qI  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) C]U<))s  
4,Nbk(  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MjAXHRV  
FW{\:+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) <NI7a15  
*e\pf6  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \s0GF>Q(i  
m:0"A{js  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] IMcv`'@  
~ij8- v  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) b6/}+/x+;*  
 xo QaOc  
　　上述两式相比可得 n'VRQ K  
0^xZk)-BQ$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %\7zQ{[LX  
f=Yw#h&7O  
半角公式 7Y_$J>iX  
=0fW]281s  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); dV$!sms  
%Wb&WiO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 2<-*RJe`  
!44J6ow7  
和差化积 L9A hez6r+  
u9I4FSU  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] v[!TGJM  
ddt'Z8CG8  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R*kEX D"k  
h7p}H4C  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `Ci18Md+a  
]H<jfip  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] AcR$r!JT/  
/Z/EI#C  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) I g)X  
;%m| D<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) P>.@;b0i}  
>PIZ\sw  
积化和差 U|MU6-=Q  
10<c;l v  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] dI>+yG:8^w  
|6m k5  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] f64\6@&/  
NX,^;Q&; x  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >5 Hy/H  
'NkH7tI  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Gsze>Ve  
Xyj|pa[R  
诱导公式 [A<WC>.G  
z/K((L]  
　　sin(-α) = -sinα rA;l,+6g  
Vi :"ta<  
　　cos(-α) = cosα Upi&WKD2  
E i9vm.4j  
　　sin(π/2-α) = cosα LjnwK^x  
O:)4$5m0l  
　　cos(π/2-α) = sinα }/s95vF>  
HJ}! `$3  
　　sin(π/2+α) = cosα h!@@~:25  
 3Nv=q<5  
　　cos(π/2+α) = -sinα $dIr6.91Gp  
>TY!2oX8m  
　　sin(π-α) = sinα >B{H;Gm@s  
.+/C2<{l+  
　　cos(π-α) = -cosα A+Wo1G  
]\zpH"e,  
　　sin(π+α) = -sinα `ybdfk6!  
$p:/*F3  
　　cos(π+α) = -cosα \ P)(bA+  
/p6o\i2T{|  
　　tanA= sinA/cosA m.z?-;i_o  
q~!~_s,7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα y[Al: @  
V4rYkP. B  
　　tan（π/2－α）＝cotα U+9/Jad"c  
$Z2l_,CV  
　　tan（π－α）＝－tanα 7$nEz//:Oy  
R(a{0*T0U  
　　tan（π＋α）＝tanα Io%' jfk~  
8S0]p_R&PL  
万能公式 b\_ fPY~u  
%hUVy&@  
　　 <riH< ( p$  
+ufiO^o_a  
其它公式 6arogJ  
^|}0m{}b  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 At1RTc5-  
&]-}8XC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 WPx@Irs  
FxwJ6 9d?X  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ^D$-_xgvU  
48tAP=v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~U8m7;~h  
:L-%SRe^  
　　对于任意非直角三角形,总有 cy C[p16  
|T,mYa%Y0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -o c6><  
|1K4GQh  
　　证: S!4IE)U7X  
&4# sT9G  
　　A+B=π-C ?9NYFG3_  
+f#A,S H3  
　　tan(A+B)=tan(π-C) UF~CDJ?<e  
_d[2b{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >%w~ G(K  
UXOY-4]6  
　　整理可得 g`9MUw  
REsR< &p=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }p S*B:tF  
fTf] +74  
　　得证 ;>~b=( 0  
0huJVV{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 x?(+Bp  
f[%$["&[  
其他非重点三角函数 '*J?GJ  
7m  Fs2  
　　csc(a) = 1/sin(a) wNrwS{iz>k  
HU3%FAT8  
　　sec(a) = 1/cos(a) BXmD Bc  
= ' Na&  
　　 6mcGM$! B  
Rs7T ~  
双曲函数 PK?yTYo  
l-G1O@2  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 x:e a Kr6  
I'NJ%Y/  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 c{'L{030/  
sZ|T J-:  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) , =>)t;.  
!jbKW~)  
　　公式一： %Y %hW B  
@8OM?$}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： bac_z*4o  
"?KOP^r6f  
　　sin（2kπ＋α）= sinα O&paM<g4'(  
o.\m6ub  
　　cos（2kπ＋α）= cosα aZpPOE#S  
XM~[s]\Jn  
　　tan（kπ＋α）= tanα rD>"S`ny  
\sjRu' b  
　　cot（kπ＋α）= cotα 6Oz5?>I'  
$gq ,/+  
　　公式二： i=?k y,^,{  
bXy+ys sC  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： v^hxvD}  
#=< 4s~#+  
　　sin（π＋α）= -sinα K'jm# #/C  
Fk$f+?$I  
　　cos（π＋α）= -cosα <*j*s/S[  
qN'oo3n#kE  
　　tan（π＋α）= tanα GbPmkZ  
<h`R?XnG0  
　　cot（π＋α）= cotα |uR=#v  
w%nD[hB^1  
　　公式三： T?-3;4L>  
y/8gbHG  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： WsfJPq.f4  
gFTz5J j  
　　sin（-α）= -sinα ":q<L:NV  
.l5y0M  
　　cos（-α）= cosα T<@X1^k  
U$n9S$08  
　　tan（-α）= -tanα A{pfpPi6  
$l$uxvRJc  
　　cot（-α）= -cotα i5N@  
"YL6;L*!?  
　　公式四： 40zqx3 ti  
x72jJy]H  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4 w{U s 8  
?{jKRD  
　　sin（π-α）= sinα pAwn)wX|(  
P>=TPyX  
　　cos（π-α）= -cosα @J^.lp  
,4}pA:t%  
　　tan（π-α）= -tanα tL+?%  
E W$IEs  
　　cot（π-α）= -cotα ; y.L'm  
F%_;s~Kv  
　　公式五： 64rwJ  
5~eMNr  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： cH,x;Lc  
=@GOHyry  
　　sin（2π-α）= -sinα Z<D,14)^p  
jmC%S%oU  
　　cos（2π-α）= cosα i}@k7nV*  
&: hpiH*[  
　　tan（2π-α）= -tanα z@i7 !y3  
@,EJM7UY  
　　cot（2π-α）= -cotα z`$7Ny%  
;lL8sx&  
　　公式六： ?.dx!;~G  
9eM m,-!  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &n.md+rzZ  
wmc/ UDDq  
　　sin（π/2+α）= cosα }i"6R  
 * $k,J  
　　cos（π/2+α）= -sinα $W)0+%]U T  
pn:M*/y@  
　　tan（π/2+α）= -cotα 52B|kjC80  
k jyt9Y6  
　　cot（π/2+α）= -tanα Zz<fVL  
vR`^4=gM  
　　sin（π/2-α）= cosα +scCY Ha^  
+0X{[?'b  
　　cos（π/2-α）= sinα ! <m -2  
x5&I6Y}k  
　　tan（π/2-α）= cotα fv.V  
Pcz3 $(A  
　　cot（π/2-α）= tanα R@icgJ8ok  
(G:V* f.  
　　sin（3π/2+α）= -cosα |BhD$?*  
>5B1 .Ky;  
　　cos（3π/2+α）= sinα e]Q_1FV\  
k{k48*S1  
　　tan（3π/2+α）= -cotα F O:DMzz  
__)lcEe  
　　cot（3π/2+α）= -tanα O,.$'48  
B}=*Gmgl&  
　　sin（3π/2-α）= -cosα dc;]7;(]  
8*iqK'y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /sA yw]FY  
8ubOZ I  
　　tan（3π/2-α）= cotα `YfbGvL+X  
`B"j)u  
　　cot（3π/2-α）= tanα t.p(>k[FAd  
%yLn5_7  
　　(以上k∈Z) SJZ2_{sHF  
y26Htb%ZJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 e5SKJXP8  
Tw& CRvDF  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = KU77-AMN  
6;"M:]5Ti  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KdNkehz>a  
L=Tt#Kd  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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