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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Cj0 wXTw  
--s(rFO$q  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -s:r#e  
kChe-H  
　　1、三角函数本质： H@XUb"Z#  
8gQRKh#$~  
　　三角函数的本质来源于定义 N,&dIR@NW  
 LJ=6QI  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 B{;Lmgm  
[zN7{VY  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 tv (yAu!#  
}uvR*[lAIU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `faXNy<KN  
?h !&F>  
　　推导： M (( ;o  
+rZ+ (-?~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 <} h|M%<   
"XswiPW4  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) {(Q^ I@  
2?df |f?`  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]&843?,~  
ScF0B-MmS  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Ra0.@Pcw  
/67=_BjG  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） QH8& k /  
lqd!-RFX  
　　[1]  unKZjF  
iL=W-w  
　　两角和公式 K+t$`V\Eb  
JD#E)]x}/0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB X.6?ebst  
X}$O'U  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  PvPF \W  
:/*G$9Ytb  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 9FV{#"  
`M(TD l  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB yUq?eG  
D{.Eh]P{W  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) (OQ\)JG8  
r=38:^4s7  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) y)EN>j6TH  
39|+  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -]0ykUms  
W[fd0!?V  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #/P_T!uC  
hFMM3Dh!#  
倍角公式 1T{rGk  
C'^V_9c  
　　Sin2A=2SinA•CosA 8Ek49 f  
ih=r+? Zz  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (};YpSBm%D  
%jp[9CO  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） C5eE9>i  
0ZS'`P#8J  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） HT_ES!  
&t>Z'|:QOV  
三倍角公式 w:~ QzDE  
rqj~KW"  
　　 cTo(erbr  
* m( d}&  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) JbGM'P!  
$\!Z'%#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) RI/w:r  
*$r2^l6  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2%bfYy{+V  
SxV\kIY  
三倍角公式推导 M_>c}V  
wu8Nm  
　　sin3a {?Y.O}  
?q 3ga@[  
　　=sin(2a+a) P.9L?%7C!  
 /tik u  
　　=sin2acosa+cos2asina |8i\,M<T  
QbdGq  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /1ul/B:  
7*]hY l,4  
　　=3sina-4sin³a  Pl`uCN7  
p X>1"  
　　cos3a _L:F- kq  
Puz "Iap  
　　=cos(2a+a) YjQ 5k;r  
U6m)N@  
　　=cos2acosa-sin2asina s2R5_*%>/  
.pGA"AH8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa h^ :dX[]K  
82;I7  
　　=4cos³a-3cosa SYQv\o:Mu  
h"}K<E>;[-  
　　sin3a=3sina-4sin³a qE (1rjZ  
e ;X(}sG.  
　　=4sina(3/4-sin²a) ! w[AVGm  
}; (\  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] %,lG$MBPX  
o%.Am~  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) &iv?iWp  
VAcaH*R  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (J5 >Z  
jfI(N/Ni  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] |8}>3S |  
95sl?dY  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) xRywmov  
K0?\t(:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa P}|` 6@  
n!Q?0#@8>  
　　=4cosa(cos²a-3/4) uzbquZpD  
[[F= r88c  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] X,Yx^tI(a  
EzH'nEa  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) QzPEp($N  
XN.yI2  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /Z$56R~S<  
OK9A0ZaJY  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #dt_CWY  
S6q =7U  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 8(;9)m\  
T^rOLf  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] (Vg'M& .0C  
_X>_EH,L  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0e26)K%Wac  
(]xlxm}m  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) C{odlK\x1  
%"]L31a  
　　上述两式相比可得 njt?_C-}@  
c(SO99I6z  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _"~M9*  
ZYG?t'35e  
半角公式 RAkPC3_q  
%5/${ z<  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ];i}&iQPK  
gu j WDaO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -Hbq'# &  
Cz.6c7G>  
和差化积 $jgVCRX"*  
S3zQA I5  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 09cTv_m  
-=<?4x_c  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @ 7$.MtJ[  
@g*rPDT  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ua, &*  
&;cq<G  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &zW4HXCW  
=vY]&*O<  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `|aQL7g'K  
:Ivlv -  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) i%2qhmL4Ql  
;)9`r0|vG  
积化和差 @NMb(m J  
-!gp.;M<  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] NOc;aX)k  
ZrHkuK Y  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %J& a"k  
2 oA}vrG  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] h\&0&6z  
OD}{n/~  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] {%plgWC  
f5TjrDYz7s  
诱导公式 w=Sn(B]M:  
q;8;"DO  
　　sin(-α) = -sinα Ar.>IC&  
/F {A)  
　　cos(-α) = cosα d\bd<D{xV  
:;& a~{  
　　sin(π/2-α) = cosα 4q{G %ge#  
E-),+o .,  
　　cos(π/2-α) = sinα cp*?jKj<  
K^?F=+DQ  
　　sin(π/2+α) = cosα meROsPGf  
j$jpS[&  
　　cos(π/2+α) = -sinα L4wXZr@0  
3_$*u<lPc  
　　sin(π-α) = sinα xx/iZ9(H62  
s/Mx jMP  
　　cos(π-α) = -cosα qz"2(*  
$:!_s3&_  
　　sin(π+α) = -sinα Jy8Au\`=y^  
sr<z #}  
　　cos(π+α) = -cosα xf~8iZL  
m0.V>J]hx  
　　tanA= sinA/cosA "Wf/d"Vij  
-)GJ!Y7h  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Vt[qKg5]k  
ocRt:-X  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~j)\*/!#  
O`swIv=[0  
　　tan（π－α）＝－tanα IKllyixuA  
L_2@WTAc  
　　tan（π＋α）＝tanα A7"O?]f  
1e[ T :v  
万能公式 H6N=|y#  
50I_77;{  
　　 6^Q$H'  
xW;t3w  
其它公式 bjL>a]S(  
nDBV(k tf  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 (Vtu<LB<b  
G0NVj$  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 % RTs5 =?  
9A"{!kWA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ne$e&hztd  
e/ld[ m?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Xf:^bsl  
@'E% *'T  
　　对于任意非直角三角形,总有 zyq_|pihn  
ikz [c/W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &_FN'jD  
g[I?:>K  
　　证: Ayf7`?F<  
tW!e&sV2  
　　A+B=π-C 4K}~K+ g  
n&Q|+d[9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) S$6k6wzI 1  
ufrxl>@  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :S, "< 5J  
er&#@A`O  
　　整理可得 w2?78!  
PQv_BU8e  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC j*"0xF8lO  
& tBKJ^? K  
　　得证 #_zt,|mY  
;n`lHzWE)  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 JkmzBN 3  
U`,4UzrR+  
其他非重点三角函数 _]o1B|G  
F]zG"(r0J  
　　csc(a) = 1/sin(a) Z>nml~W1  
O4Y7 ) Tt  
　　sec(a) = 1/cos(a) [AQIzMY@l  
YG vb GCF0  
　　 ^w C* G@  
%Q${a`z  
双曲函数 U0~bn|K6g  
U>} FE4J/  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cxb`St$  
X2!wm{LJ#  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 b`x~,,  
lRX :$a|  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Yo~fj#.  
0 yVMk Nu  
　　公式一： .I[z1]U'  
.\XQ; ?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： h7_z_\lG  
gC;cB:K  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B3\BJmcg  
Hte'N6c8  
　　cos（2kπ＋α）= cosα z9Kav%hW2  
>6X ]K{ms  
　　tan（kπ＋α）= tanα krJ9 T'L  
,o-{qN:W]j  
　　cot（kπ＋α）= cotα qf$|   
B4\6( zr)  
　　公式二： VCJ^GUY!  
>"7)q1E8#  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： xE;(J2^|2  
Q&3H$%  
　　sin（π＋α）= -sinα S&XgCk|%J  
W@QE?[V  
　　cos（π＋α）= -cosα EA#N"*#l  
Zs9 H,eM  
　　tan（π＋α）= tanα uVSE: < mS  
x ADdn~.^  
　　cot（π＋α）= cotα (I%!9"#  
\^}LKq-c+  
　　公式三： 5T[rn  
DSw%BO  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Qb-I@b  
Ta#sEHm  
　　sin（-α）= -sinα I@S3[zOxZ  
'*9jd?.:  
　　cos（-α）= cosα K;%I|7 I/3  
->w$"%  
　　tan（-α）= -tanα 7l\cIZ^  
iPMz~,($  
　　cot（-α）= -cotα &h&6d7u  
? B!N"wDn  
　　公式四： .rDwEs/  
} WJ|E;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Ir?rt(  
};Pw]De/  
　　sin（π-α）= sinα 2{uk+];  
^4^~c)Q  
　　cos（π-α）= -cosα y e=_ )D"  
)V2+-o h  
　　tan（π-α）= -tanα a8.@z/1~  
`O*W%p"!  
　　cot（π-α）= -cotα 2UIEzR5c[  
>B| zq@P^  
　　公式五： ku9 nKPD)  
c)S(E9x7t  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： L&@DP/0d'  
4xgR 7q{  
　　sin（2π-α）= -sinα x-;C0:{>  
!]-/ .I  
　　cos（2π-α）= cosα pK/ huGI  
Z#6z#gW  
　　tan（2π-α）= -tanα c,PMm^ey  
C0XVp^[  
　　cot（2π-α）= -cotα UpB]_gnN  
\@oZ\v$,  
　　公式六： { *,~&  
h} ~8D)u  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *g*?V9vw~  
 / q/  
　　sin（π/2+α）= cosα }f7cJStS`  
h&06Dp{  
　　cos（π/2+α）= -sinα BHgk2tB&  
|"H!?v]o  
　　tan（π/2+α）= -cotα &sU NeT =  
_FB]sx  
　　cot（π/2+α）= -tanα |\ks{~x.*  
))]%k\.$~  
　　sin（π/2-α）= cosα UsJTeY9fx{  
Ua-T#v  
　　cos（π/2-α）= sinα jB40D)PG  
4}VF[$MLv  
　　tan（π/2-α）= cotα kP}/u\,|  
W%I=SMb  
　　cot（π/2-α）= tanα O^&U{cp{  
C~VIB\o"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα n>2l$l}_  
kZ [  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;$>Qh+#*&V  
K?zn#: Iz  
　　tan（3π/2+α）= -cotα G!Sg+zrz  
x7W/VI}6gA  
　　cot（3π/2+α）= -tanα fFhb%'Hv  
HyZ S;Y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 0NtjZ k  
^L$r"6c)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα o~![2g8UZ  
'~{><k*l  
　　tan（3π/2-α）= cotα |!o3U\<hz  
D();` yU  
　　cot（3π/2-α）= tanα 5"WqsL/_<  
5I7$4 \d  
　　(以上k∈Z) Xp66e[~)-  
[qk[$ `{N  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @yN,@y4seI  
VP$mR`~p?  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = t>~ f(  
_FWY#2O  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %N/^4^Iv^  
TJ ;6"  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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